(Vunesp) - Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) = K . 2-0,5t, em que K é uma constante, t
indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas,
no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados
no gráfico, determine os valores de K e de a.
Uma solução:
. Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial
Para saber qual é o valor de K,
observamos que na expressão Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocua a
posição referente à quantidade inicial. Logo, usaremos o menor tempo possível,
que neste caso, é o zero. Observe que quando t é zero, o valor de Q (na
vertical) é 2048.
Assim, temos para o ponto (0, 2048),
temos tempo zero e quantidade final 2048.
Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período
2048 = quantidade inicial x (2)-0,5 (0)
2048 = quantidade inicial x (2)0
2048 = quantidade
inicial x 1
2048 = quantidade inicial
R: O valor de K é 2048.
. Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade
final for 512.
Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período
512 = 2048 x (2)-0,5t
512 = 2048 x (2)-0,5t
Vamos representar os números em potência de 2:
512 = 2048 x (2)-0,5t
29 = 211 x (2)-0,5t
Não vamos multiplicar as potências, porque tem o t no -0,5.
Vamos jogar o 211 para o 1º membro. Ele está
multiplicando, vai para lá dividindo.
29 = 211 x (2)-0,5t
29 : 211 = (2)-0,5t
Divisão de potências de mesma base, repete a base e diminui
os expoentes
2-2 = (2)-0,5t
De acordo com o conhecimento adquirido em equação
exponencial, uma equação com bases iguais podem ter as bases “cortadas” e
efetuar os expoentes.
2-2 = (2)-0,5t
-2 = -0,5t
-0,5t = -2 (multiplicando por -1)
0,5t = 2
t = 2 / 0,5
t = 4
O tempo, que é o a, é 4.
Resposta: a = 4
