(Vunesp) - Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) = K . 2-0,5t, em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a.



Uma solução:

. Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial

Para saber qual é o valor de K, observamos que na expressão Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocua a posição referente à quantidade inicial. Logo, usaremos o menor tempo possível, que neste caso, é o zero. Observe que quando t é zero, o valor de Q (na vertical) é 2048.
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048.

Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período
2048 = quantidade inicial x (2)-0,5 (0)
2048 = quantidade inicial x (2)0
2048 = quantidade inicial x 1
2048 = quantidade inicial

R: O valor de K é 2048.


. Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade final for 512.    

Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período
512 = 2048 x (2)-0,5t
512 = 2048 x (2)-0,5t

Vamos representar os números em potência de 2:
512 = 2048 x (2)-0,5t
29 = 211 x (2)-0,5t

Não vamos multiplicar as potências, porque tem o t no -0,5.
Vamos jogar o 211 para o 1º membro. Ele está multiplicando, vai para lá dividindo.
29 = 211 x (2)-0,5t
29 : 211 =  (2)-0,5t

Divisão de potências de mesma base, repete a base e diminui os expoentes
2-2 =  (2)-0,5t

De acordo com o conhecimento adquirido em equação exponencial, uma equação com bases iguais podem ter as bases “cortadas” e efetuar os expoentes.

2-2 =  (2)-0,5t

-2 =  -0,5t

-0,5t = -2 (multiplicando por -1)
0,5t = 2

t = 2 / 0,5

t = 4

O tempo, que é o a, é 4.

Resposta: a = 4