E0521 - Considere a função dada por f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1. Quando m = - 4 determine os valores de x para os quais f(x) = 0.


Uma solução:
f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1

Quero igualar f(x) a zero.

0 = 32x+1 + m . 3x + 1

Arrumando:

 32x+1 + m . 3x + 1 = 0

Quero que o valor de m seja -4.
32x+1 + (-4 ). 3x + 1 = 0

32x+1 -4 . 3x + 1 = 0

Observe que o expoente em 32x+1 pode ser escrito como (3x) 2   .  31  pela propriedade da multiplicação e potência, em que repete a base e soma os expoentes. Fizemos o contrário.

32x+1 -4 . 3x + 1 = 0

(3x) 2   .  31  -4 . 3x + 1 = 0

Como artifício de cálculo, vou chamar 3x de a.  Substituo por a onde tiver 3x.

(3x) 2   .  31  -4 . 3x + 1 = 0

a 2   .  31  -4 . a + 1 = 0

Posso multiplicar -4 com a, ficando com -4ª e 31 por a², ficando 3a²

3a 2  -4a + 1 = 0

Pronto! Temos uma equação do 2º grau.

Pode usar a fórmula de Bháskara para resolver. As raízes são:

a = 1,   a = 1/3

Mas, não queremos o valor de a. Queremos o de x.

Mas sabemos que a foi trocado por 3x.
3x = a

Para a = 1                                         Para a = 1/3
3x = 1                                                  3x = 1/3


x ´= 0 e x´´ = -1

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Outra  solução:
f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1

Substituindo m por 4:
f(x) = 32x+1 + (-4) . 3x + 1

que é o mesmo que
f(x) = 32x+1 -4 . 3x + 1

Vamos usar um artifício para representar essa função em função do 2º grau:

Separando 32x+1, temos 32x . 31
f(x) = 32x . 31 - 4 . 3x + 1

32x pode ser representado como (3x)2
f(x) = (3x)2 . 3  -4 . 3x + 1

Arrumando,
f(x) = 3. (3x)2  - 4 . 3x + 1

Perceba que podemos identificar os coeficientes a,b e c da função f(x) = ax2 + bx + c

Para isso, vamos chamar 3x de y.
Substituindo,
f(x) = 3y2  - 4y + 1

Como queremos f(x) = 0, substitumos
0 = 3y2  - 4y + 1

Temos uma equação do 2º grau, em que as raízes, através da fórmula de Bháskara é
y´= 1/3  e y´´ = 1

Ora, dissemos que 3x = y. E agora sabemos que y pode ser 1/3 ou 1.
Então, 1/3 e 1 são os valores de 3x.

Assim, podemos dizer que
3x = 1/3   e 3x = 1

Para 3x = 1/3, podemos representar 1/3 como 3-1
3x = 3-1
Cortado as bases, fica x = -1 (este é o primeiro valor para x)

3x = 1
x é zero, porque 30 = 1 (este é o segundo valor de x)

R: x pode ser -1 ou zero.