(UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = R0e–kt, em que R0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio.  O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k=10%. Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de:
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24



Uma solução:
Os dados:
R = 0,2%, que é o mesmo que 0,2/100, que dá 0,002.
R0 = ?
e = depende do expoente. Após descobrir o expoente, jogamos na tabela dada.
K = 10%, que é o mesmo que 10/100, que dá 0,1.
t = ?

Observe que tem 2 dados desconhecidos. Um deles é o que o problema pede (tempo).
Precisamos descobrir o R0.

Descobrindo R0:
R = Não quero o final (0,002). Vamos usar os 2%, que é o mesmo que 0,02
R0 = não disse. Vamos calcular no tempo zero.
e = depende do expoente. Após descobrir o expoente, jogamos na tabela dada.
t = 0, pois queremos o R inicial.
R = R0e–kt
0,02 = R0(e)–0,10.0
0,02 = R0(e)0
Temos e0, que sabemos, sem precisar olhar a tabela, que dá 1 (número elevado a zero dá 1).

0,02 = R0(e)0
0,02 = R0 . 1
0,02 = R0
Descobrimos que R0 = 0,02

Temos, então, que:
R = 0,002.
R0 = 0,02
e = depende do expoente. Após descobrir o expoente, jogamos na tabela dada.
K = 10%, que é o mesmo que 10/100, que dá 0,1.
t = ?

Já temos informações suficientes para calcular o tempo t
R = R0e–kt
0,002 = 0,02 . e–(0,1)t
0,02 representado em notação científica é 2.10-2, assim como 0,002 é 2.10-3
2.10-3 = 2.10-2 . e–(0,1)t

Jogando a expressão 2.10-2 para o 1º membro, ele vai dividindo: 2.10-3 : 2.10-2 = 1.10-1 = 10-1
2.10-3 :  2.10-2 . e–(0,1)t

Divisão de potência de mesma base, mantém a base e subtrai os expoentes
10-1 = e–(0,1)t

Precisamos igual as bases.  Base e para 10 fica mais difícil. Vamos optar da base 10 para a base e, com  ajuda da tabela.
10 = e2,3

Substituindo,
(e2,3)-1 = e–(0,1)t

Potência de potência, mantém a base e multiplica os expoentes
(e-2,3) = e–(0,1)t

Igualdade de potência de mesma base, podemos suprimir as bases e operar apenas os expoentes, como vimos em equação exponencial.
-2,3 = -0,1t (multiplicando por -1 para mudar os sinais)
2,3 = 0,1t
t = 2,3 / 0,1
t = 23

R: letra C