Um cone circular reto de madeira, homogêneo, com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, flutua livremente na água parada em um recipiente, de maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice aponta para baixo, como representado na figura a seguir.
Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, relativa à superfície da água, por r o raio do círculo formado pelo contato da superfície da água com o cone e sabendo-se que as densidades da água e da madeira são 1,0 g/cm³ e 0,6 g/cm³, respectivamente, os valores de r e h, em centímetros, são, aproximadamente
dados:
(A) 5,8 e 11,6
(B) 8,2 e 18,0
(C) 8,4 e 16,8
(D) 8,9 e 15,0
(E) 9,0 e 18,0
(B) 8,2 e 18,0
(C) 8,4 e 16,8
(D) 8,9 e 15,0
(E) 9,0 e 18,0
Resolução:
Devemos lembrar:
1. Densidade é a massa
dividido pelo volume.
2. material mais denso
afunda e o menos denso, flutua (o que acontece com o gelo num copo com água,
por exemplo).
3. Seja a densidade da
água 1,0 g/cm³ e a densidade do gelo 0,92 g/cm³, temos que o gelo não vai ficar
totalmente acima da água, mas o que sobrou, ou seja, 0,08 g/cm³ ou 8%.
Observe o gelo abaixo
como ilustração desprezando as proporções dadas acima.
Com essa ideia, seja a
densidade da água 100% e a do gelo 92%, temos 8% acima do nível da água.
Ou, se tenho 8% acima do
nível da água, temos 92% submerso.
Observe que temos um
cone de madeira que foi jogado na água, e este não afundou, antes, boiou,
ficando parte dentro e parte fora da água.
Isso significa que a
densidade do cone é menor que a da água. De fato, o enunciado disse que a da
água é 1,0 g/cm³, enquanto a densidade da madeira é de 0,6 g/cm³.
Isso nos faz concluir
que 60% do cone ficará submerso e 40% ficará acima do nível da água.
Observe na figura que, a
parte do cone que ficará debaixo no nível (submerso) é também um cone, a saber,
o cone menor.
Se 60% do cone fica
abaixo da água e esse é o cone pequeno, podemos dizer que o cone pequeno é 60%
do cone maior.
Mas, Qual é o volume do
cone maior?
VOLUME DO CONE GRANDE:
pi . R² . H
3
3 . 10² . 20
3
3 . 100 . 20
3
3 . 2000
3
6000 = 2000
3
Se sabemos que o cone menor é 60% do maior, temos
60% de 2000 = 1200.
Assim, temos:
Volume do cone maior = 2000
Volume do cone menor = 1200
Vamos calcular o raio e a altura através do volume 1200
V = pi . r² . h
3
1200 = 3 . r² . h
3
cortando o 3
1200 = r² . h
Ops! Temos uma equação com duas incógnitas! Precisamos eliminar uma delas!
Poderíamos fazer uma continha de razão do tipo
h = H
r R
Conhecemos H e R. Então, vamos substituir:
h = 20
r 10
simplificando
h = 2
r
h = 2r
Mas, não precisamos fazer essa conta para saber que a altura é o dobro do raio. Olhe na figura o cone maior. Temos altura 20 e raio 10. Logo, a altura é mesmo o dobro do raio!
Se sabemos que h = 2r, podemos voltar na equação de duas incógnitas e substituir.
1200 = r² . 2r
1200 = 2r³
1200 = r³
2
r³ = 600
r = raiz cúbica de 600
r = 600 aproximadamente.
Se a altura é o dobro, temos 2 x 8,4 = 16,8 aproximadamente.
Opção C
