(UFG) e (SIMULADO DO ENEM - SEDU-ES / 2014)

Um cone circular reto de madeira, homogêneo, com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, flutua livremente na água parada em um recipiente, de maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice aponta para baixo, como  representado na figura a seguir.

Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, relativa à superfície da água, por r o raio do círculo formado  pelo contato da superfície da água com o cone e sabendo-se que as densidades da água e da madeira são 1,0 g/cm³ e 0,6 g/cm³, respectivamente, os valores de r e h, em centímetros, são, aproximadamente

dados: 


(A) 5,8 e 11,6
(B) 8,2 e 18,0
(C) 8,4 e 16,8
(D) 8,9 e 15,0
(E) 9,0 e 18,0



Resolução:

Devemos lembrar:
1. Densidade é a massa dividido pelo volume.
2. material mais denso afunda e o menos denso, flutua (o que acontece com o gelo num copo com água, por exemplo).
3. Seja a densidade da água 1,0 g/cm³ e a densidade do gelo 0,92 g/cm³, temos que o gelo não vai ficar totalmente acima da água, mas o que sobrou, ou seja, 0,08 g/cm³ ou 8%.

Observe o gelo abaixo como ilustração desprezando as proporções dadas acima.




Com essa ideia, seja a densidade da água 100% e a do gelo 92%, temos 8% acima do nível da água.

Ou, se tenho 8% acima do nível da água, temos 92% submerso.

Observe que temos um cone de madeira que foi jogado na água, e este não afundou, antes, boiou, ficando parte dentro e parte fora da água.



Isso significa que a densidade do cone é menor que a da água. De fato, o enunciado disse que a da água é 1,0 g/cm³, enquanto a densidade da madeira é de 0,6 g/cm³.

Isso nos faz concluir que 60% do cone ficará submerso e 40% ficará acima do nível da água.

Observe na figura que, a parte do cone que ficará debaixo no nível (submerso) é também um cone, a saber, o cone menor.

Se 60% do cone fica abaixo da água e esse é o cone pequeno, podemos dizer que o cone pequeno é 60% do cone maior.

Mas, Qual é o volume do cone maior?

VOLUME DO CONE GRANDE:

pi . R² . H
     3

3 . 10² . 20
      3

3 . 100 . 20
      3

3 . 2000
      3

6000   =  2000
   3

Se sabemos que o cone menor é 60% do maior, temos

60% de 2000 = 1200.


Assim, temos:

Volume do cone maior = 2000
Volume do cone menor = 1200


Vamos calcular o raio e a altura através do volume 1200

V = pi . r² . h
             3

1200 = 3 . r² . h
                 3

cortando o 3

1200 = r² . h


Ops! Temos uma equação com duas incógnitas! Precisamos eliminar uma delas!

Poderíamos fazer uma continha de razão do tipo

h   =   H   
r         R

Conhecemos H e R. Então, vamos substituir:

h   =   20   
r         10

simplificando

h   =   2
r         

h = 2r

Mas, não precisamos fazer essa conta para saber que a altura é o dobro do raio. Olhe na figura o cone maior. Temos altura 20 e raio 10. Logo, a altura é mesmo o dobro do raio!


Se sabemos que h = 2r, podemos voltar na equação de duas incógnitas e substituir.

1200 = r² . 2r

1200 = 2r³

1200 = r³
    2

r³ = 600

r = raiz cúbica de 600

r = 600 aproximadamente.

Se a altura é o dobro, temos 2 x 8,4 = 16,8 aproximadamente.


Opção C