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E0044 - Os pontos (2,3) , (5,-1) e (1,-4) são vértices de uma quadrado. Quais são as coordenadas do quarto vértice?



Resolução:

Temos um quadrado com os pontos citados acima, que chamaremos de A (2,3), B (5,-1), C (1,-4) e D (x,y).

Dando nome nos pontos que formam o vértice, temos  a seguinte figura:



Vamos calcular o tamanho de um dos lados desse quadrado, usando a fórmula da distância entre dois pontos.

Começamos calculando o tamanho de A e B.


Se a figura é um quadrado e temos um de seus lados (AB) medindo 5, com certeza os demais lados medem 5.

Assim, 
AB = 5
AC = 5
CD = 5
DA = 5


Observe que o ponto D (que é o que queremos), está à mesma distância (equidistante) do ponto A e do ponto C (ambas as distâncias medem 5).

Podemos calcular o ponto equidistante, como fizemos em E0045 . 



Uma vez que conhecemos o tamanho do lado do quadrado (5), conseguimos saber qual é o tamanho de sua diagonal (AC ou BD).

A diagonal do quadrado é sempre o lado com a raiz de 2.
Como o seu lado é 5, a diagonal será 5Ö2

Se não entendeu, clique aqui.

Observe que a diagonal que nos interessa é BD, que vai dar no vértice D (o que queremos).

O ponto D demos o nome de (x,y).

Continuamos com 1 problema: (x,y) tem 2 letras.

Mas, podemos eliminar uma delas.

Lembra da equação que guardamos?

x + 7y + 2 = 0
(isolando o x)

x = -7y - 2

Então, trocamos o x pela expressão (-7y - 2).

Assim, o vértice D (x,y) será chamado de D (-7y - 2 , y)

Fazendo a fórmula da distância, temos:


Daí, resolvendo, temos:

50 = 50y² + 100y + 50

50y² + 100y + 50 - 50 = 0

50y² + 100y  = 0

Temos, enfim, uma equação do 2º grau que, achando as raízes, são:

0 e -2.


Resposta:  (-2, 0)