RELAÇÃO DE EULER

(UF-PI) Um poliedro convexo constituído de faces triangulares e quadrangulares possui 20 arestas, e a soma dos ângulos de suas faces é igual a 2 880º. É correto afirmar que esse poliedro possui:

a) 8 faces triangulares

b) 12 vértices

c) 10 faces

d) 8 faces quadrangulares

Resolução:

Há faces triangulares e quadrangulares.

Cada face triangular tem 3 arestas. Logo, 3 arestas vezes x faces triangulares = 3x arestas

Cada face quadrangular tem 4 arestas. 4 arestas vezes y faces quadrangulares = 4y arestas

Somando as arestas, temos 3x + 4y.

Vimos na apostila de aprendizagem que a quantidade de arestas divide por 2 por ser comum à duas faces. Logo, a soma das arestas é (3x + 4y) / 2

Essa soma vale 20, conforme o enunciado mencionou.

(3x + 4y) / 2 = 20

Multiplicando cruzado, temos

3x + 4y = 40 (equação I)

Vamos para a 2.ª equação através dos ângulos.

Faces triangulares somam 180º e faces quadrangulares somam 360º

Chamamos de x a quantidade de faces triangulares e y as quadrangulares.

Para saber a quantidade total de ângulos, precisamos multiplicar 180 e 360 graus pela quantidade de faces, a saber, x e y.

180x + 360y = 2880

Simplificando essa equação por 180

x + 2y = 16  (esta é a segunda equação)

Juntando as duas equações, podemos fazer um sistema de equações.

3x + 4y = 40

x + 2y = 16

Aumentando a 2.ª equação por -3 para resolver o sistema (você pode resolver por outro método)

3x + 4y = 40

-3x - 6y = -48

-2y = -8 (multiplicando por -1)

2y = 8

y = 8/2

y = 4

Achamos a quantidade de faces quadrangulares (4).

Vamos calcular a quantidade de faces triangulares:

x + 2y = 16

x + 2(4) = 16

x = 8 = 16

x = 16 - 8

x = 8

São 8 faces triangulares, que é a opção A

LETRA A

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