(FEI-SP) Um poliedro convexo com faces quadrangulares e pentagonais tem 15 arestas. Calcule o número de faces de cada tipo sabendo que a soma de todos os ângulos dos polígonos das faces é 32 retos.

Resolução:


São 15 arestas porque foi dividido por 2. Faremos a conta com 30 arestas.
4 arestas vezes x faces quadrangulares = 4x arestas.
5 arestas vezes y faces pentagonais = 5y arestas.
Somando, temos
4x + 5y = 30 (equação I)

A soma de todos os ângulos dá 32 ângulos retos. Cada ângulo reto mede 90º.  32 x 90 = 2880º.
Quanto aos ângulo, faces quadrangulares tem 360º como soma dos ângulos internos, enquanto 540º nas faces pentagonais.
360x + 540y = 2880º
Simplificando:
2x + 3y = 16 (equação II)

resolvendo o sistema:
4x + 5y = 30
2x + 3y = 16 (multiplicando esta por -2)

4x + 5y = 30
-4x - 6y = -32
y = 2
Sã0 2 faces pentagonais

Calculando x:
4x + 5y = 30
4x + 5(2) = 30
4x + 10 = 30
4x = 30 - 10
4x = 20
x = 20 / 4
x = 5
São 5 faces quadrangulares.

2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares