(UFJF) Uma mesquita possui uma abóboda semi-esférica de 4 m de raio, cujo centro dista 7 m do chão e 5 m das paredes laterais. A figura ao lado representa um corte em perfil, em que um menino, afastado 6 m da parede lateral, mirando em A, vê o ponto B na abóboda. Considerando-se os olhos do menino a 1 m do chão e desprezando-se a espessura das paredes para o cálculo, a altura do ponto B ao chão é:



Resolução:

O exercício pede a altura do ponto B.
Para isso, basta somar a altura até o ponto C(7 metros) com a altura BC (que vamos descobrir)
Não temos explicitamente os ângulos agudos do triângulo ADE, a não ser o ângulo reto CÊD.
Pela Lei Angular de Tales só conseguiríamos descobrir o 3º ângulo se tivéssemos o 2º (a soma dos três ângulos internos do triângulo sempre dá 180º). Como não temos o 2º ângulos, podemos desconfiar que eles são congruentes. Para ter certeza, vamos conferir se o triângulo é isósceles (dois lados de mesma medida).
Observe que DE mede 6, pois o enunciado diz que ele se afastou 6m.
A altura AF mede 7 metros. Se a altura dos olhos do menino é 1 metro, logo, a altura EF mede 1. Percebeu que a altura AF mede 7 e EF mede 1. Logo, AE mede 6 (7-1).
Se temos o triângulo ADE com dois catetos medindo 6, temos, então, um triângulo isósceles.

Por certo, ,muitos usariam a semelhança de triângulos com os triângulos ADE e ABC.
Se fosse assim, o triângulo ABC também é isósceles. E como AC mede1, BC também mede 1.
Logo, a altura AF mede 7 e BC mediria 1, totalizando 8 metros, que seria a letra E

MAS, ABC NÃO é um triângulo.
Vamos ampliar a imagem para observar melhor:


Como temos uma semi-esfera, cujo desenho pode ser representado pela circunferência, precisaríamos da Equação da Circunferência:

Raio² = (x - x0)² + (y - y0)²

Sabemos que o raio é 4.

Precisamos calcular as coordenadas do centro da circunferência.
Lembrando que a coordenada é um ponto representado por (x,y) no plano cartesiano em que x é horizontal e y é vertical.

Se o menino fosse até a direção do ponto C, andaria 11 metros (6 metros até a parede, 1 metro da parede até o início da abóboda e 4 metros de raio). Então, dizemos que x vale 11.

O y é na vertical, e já vimos que a altura é 6.

Assim, chegamos a coordenada (11,6) e raio 4.

Jogando na equação da circunferência, temos:


Raio² = (x - x0)² + (y - y0)²

4² = (x – 11)² + (y – 6)²

16 = (x² - 22x + 121) + (y² - 12y +36)

Arrumando a equação, fica:

x² + y² - 22x – 12y + 121 + 36 – 16

x² + y² - 22x – 12y + 141

Observe que temos duas incógnitas. Precisamos substituir uma delas para não precisar de sistema de equação.

Note que no ponto de encontro x = y

Assim, onde tem x, substituímos por y.

x² + y² - 22x – 12y + 141

y² + y² - 22y – 12y + 141

2y² - 34y + 141 = 0

Usando a formula de Bháskara, encontramos:


O detalhe é que esse valor é até os olhos do menino.
Para saber a altura total, teremos que somar 1.


Resposta: B