(FUVEST-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é 2/3 da área de B, determine seu volume.
Resolução:
Observe que foi o cone foi cortado.
Ao cortar o cone, ficamos com um cone menor e um
tronco de cone.
A parte de cima é o cone menor e sua base é o
mesmo círculo da base do cilindro.
Do tronco do cone, retirou-se um cilindro,
sobrando o que chamaremos de NOVO SÓLIDO.
A área da base do cone maior é um círculo de raio
8. Podemos expressar essa área como p . R², ou
seja, p . 8², que é o mesmo que 64p.
A área do tronco após ter sido retirado o
cilindro é uma coroa circular, que podemos representar como p ( R² - r²), ou
seja, p (8² -r²), que dá p (64 – r²).
O enunciado disse que a área do Coroa circular é
2/3 da área do círculo.
Assim, temos:
A área da coroa circular = 2/3 da área do círculo
Substituindo pela expressão que acabamos de ver:
p (64 – r²) = 2/3 de
64p
Cortando os p, fica
64 – r² = 2/3 . 64
64 – r² = 128/3
-r² = 128/3 - 64
-r² = (128 – 192) / 3
-r² = - 64 / 3 ( -1)
r² = 64/3
r = √64 / √3
r = 8 / √3
Acabamos de calcular o valor do raio menor.
A área do tronco é dada por p (64 – r²).
Sendo r = 8/√3, fica
p [64 – (8/√3)²]
p [64 – (64/3)]
p [(192 – 64) /3]
p [128 /3]
128p / 3
Essa é a área da base do NOVO SÓLIDO.
Para calcular o seu volume, basta multiplicar
pela sua altura.
V = Área da base x altura.
Vimos que a área da base é 128p /
3. Precisamos descobrir a altura.
Usaremos o cone maior e o cone menor (a parte de
cima), e usaremos a proporcionalidade por serem semelhantes.
Raio do cone
menor = altura
do cone menor
Raio do cone
maior altura
do cone maior
O raio do cone maior sabemos que mede 8
O raio do cone menor, descobrimos que mede 8
/ √3.
A altura do cone maior, sabemos que mede 15.
A altura do cone menor, percebemos que é 15 menos
a altura do cilindro, que chamaremos de h. Assim, podemos representar a altura
menor cone como 15 – h
Temos, então:
8 / √3 = 15
- h
8 15
Observe que o 1º termo temos a fração 8 / √3 dividido por 8.
Repete o 1º e multiplica pelo inverso, temos
8/√3 . 1 / 8 = 8 / 8√3, que, simplificando,
fica 1 / √3.
Assim, temos
1/√3 = (15 – h)
15
Multiplicando cruzado,
15 = √3 (15 – h)
15 – h = 15 / √3
Racionalizando 15 / √3, temos 15√3 / 3, que dá 5√3
15 – h = 5√3
-h = 5√3 – 15
Colocando em evidência,
-h = 5(√3 – 3)
Multiplicando por -1
h = 5(3 - √3)
Acabamos de encontrar a altura do NOVO SÓLIDO.
Agora, enfim, podemos calcular o volume dele.
Temos
p . 8² . 15 - p . r² (15 - h)
- p . r² . h
3 3
p . 64 . 15 - p . r² (15 - h)
- p . r² . h
3 3
p . 960 - p . r² (15 - h)
- p . r² . h
3 3
p .
320 - p . r² (15 - h)
- p . r² . h
3
320p - p . 8² .
5√3 - p . 8² .
5 (3 - √3)
3 3 3
V = 640p√3
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