(FUVEST-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é 2/3 da área de B, determine seu volume.


Resolução:

Observe que foi o cone foi cortado.


Ao cortar o cone, ficamos com um cone menor e um tronco de cone.


A parte de cima é o cone menor e sua base é o mesmo círculo da base do cilindro.


Do tronco do cone, retirou-se um cilindro, sobrando o que chamaremos de NOVO SÓLIDO.



A área da base do cone maior é um círculo de raio 8. Podemos expressar essa área como p . R², ou seja, p . 8², que é o mesmo que 64p.


A área do tronco após ter sido retirado o cilindro é uma coroa circular, que podemos representar como p ( R² - r²), ou seja, p (8² -r²), que dá p (64 – r²).


O enunciado disse que a área do Coroa circular é 2/3 da área do círculo.


Assim, temos:


A área da coroa circular = 2/3 da área do círculo


Substituindo pela expressão que acabamos de ver:


p (64 – r²) = 2/3 de 64p


Cortando os p, fica


64 – r² = 2/3 . 64


64 – r² = 128/3


-r² = 128/3 - 64


-r² = (128 – 192) / 3


-r² = - 64 / 3 ( -1)


r² = 64/3


r = √64 / √3


r = 8 / √3


Acabamos de calcular o valor do raio menor.



A área do tronco é dada por p (64 – r²).


Sendo r = 8/√3, fica


p [64 – (8/√3)²]


p [64 – (64/3)]


p [(192 – 64) /3]


p [128 /3]


128p / 3


Essa é a área da base do NOVO SÓLIDO.


Para calcular o seu volume, basta multiplicar pela sua altura.


V = Área da base x altura.


Vimos que a área da base é 128p / 3.  Precisamos descobrir a altura.




Usaremos o cone maior e o cone menor (a parte de cima), e usaremos a proporcionalidade por serem semelhantes.


Raio do cone menor                =   altura do cone menor

Raio do cone maior                       altura do cone maior



O raio do cone maior sabemos que mede 8

O raio do cone menor, descobrimos que mede 8 / √3.


A altura do cone maior, sabemos que mede 15.

A altura do cone menor, percebemos que é 15 menos a altura do cilindro, que chamaremos de h. Assim, podemos representar a altura menor cone como 15 – h


Temos, então:


8 / √3   =    15 - h

   8                15


Observe que o 1º termo temos a fração 8 / √3 dividido por 8.


Repete o 1º e multiplica pelo inverso, temos


8/√3 . 1 / 8 = 8 / 8√3, que, simplificando, fica  1 / √3.


Assim, temos


1/√3 = (15 – h)

               15


Multiplicando cruzado,



15 = √3 (15 – h)


15 – h = 15 / √3


Racionalizando 15 / √3, temos 15√3 / 3, que dá 5√3


15 – h = 5√3


-h = 5√3 – 15


Colocando em evidência,


-h = 5(√3 – 3)


Multiplicando por -1


h = 5(3 - √3)


Acabamos de encontrar a altura do NOVO SÓLIDO.


Agora, enfim, podemos calcular o volume dele.


Temos


p . 8² . 15   -   p . r² (15 - h) - p . r² . h

       3                              3



p . 64 . 15   -   p . r² (15 - h) - p . r² . h

       3                              3


p . 960     -   p . r² (15 - h) - p . r² . h

       3                              3



p . 320     -   p . r² (15 - h) - p . r² . h

                                       3



320p     -   p . 8² . 5√3 - p . 8² . 5 (3 - √3)

                   3   3                    3         


V = 640p√3

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